三角函数 微分(三角函数微分方程)

2022年7月15日22:51:55三角函数 微分(三角函数微分方程)已关闭评论

三角函数 微分(三角函数微分方程)

三角函数的微分形式资料上都是从纯分析的角度得出,逻辑严谨,但缺乏直观,本篇就从几何角度出发得出直观的三角函数微分形式

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提起三角函数,首先联想到的就是圆,而圆中又以单位圆应用最为广泛,首先我们来看一个单位圆,它的方程就是x^2+y^2=1。

那么它的x坐标就是cosθ, y的坐标是sinθ

如果我们将单位圆的旋转半径逆时针增加一个微小的角度Δθ,那么y坐标同样增加一个微小的长度Δy.具体如下图所示

根据你的初高中知识,圆的弧长=半径x旋转角度

为了更好的观察我们把它移出来,当Δθ趋于0时,下图中Δθ对应的弧长就是一条直线,这也是无穷小的思想概念,所以颜色深的阴影部分就是一个微小的直角三角形。

我们已经知道,当Δθ趋于0时,Δθ对应的弧长就是一条直线,因为直线是有弧长退化而来的,弧长和直线不断逼近,最终重合,所以这条直线就是圆上的切线,既然是切线根据你的三角知识,就有如下两个相等的α角,

我们继续,在整个单位圆中Δθ趋于0时,由于弧长演化成该点的切线,那么如下两个三角形肯定相似,这个很容易理解的

所以根据你已经掌握的微分知识,Δθ=dθ,Δy=dy,因为y=sinθ,这两个三角形又相似,所以得出dsinθ/dθ=Δy/Δθ=x/1=cosθ

这是从形象直观的几何关系中得出的三角函数的导数形式。对于cosθ的导数你可以做同样的处理,有兴趣的伙伴可以动手去试一试。

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