物理运动学公式及推论推导(物理运动学公式总结)

2022年4月26日06:50:38物理运动学公式及推论推导(物理运动学公式总结)已关闭评论

一、x-t图

位置-时间图,如果出发点在原点,那就是位移-时间图.

1.只能表示直线运动(因为只有正负两个方向),不是轨迹图像,轨迹图像是xoy图.

2.切线斜率表示表示瞬时速度,斜率的正负表示方向;割线斜率表示平均速度.

3.表达式对时间的导数表示速度.

4.交点表示相遇(同一时间在同一个位置).

5.纵轴截距表示起点(计时点位置).

6.渐近线表示收尾速度.

7.面积没有实际意义.

8.x-t图若为抛物线,则一定是匀变速直线运动(二次函数导数为一次函数,一次函数导数为常数即为加速度).

例题:甲、乙两辆汽车在同一平直的公路上行驶,在t=0到t=t?时间内,它们的x-t图像如图所示.

在这段时间内(CD).

A.汽车甲做加速运动,汽车乙做减速运动

B.汽车甲的位移大小大于汽车乙的位移大小

C.汽车甲的运动方向与汽车乙的运动方向相反

D.在t?时刻,汽车甲追上汽车乙

例题:球A以初速度vA=40m/s从地面上一点竖直向上抛出,经过一段时间△t后又以初速度vB=30m/s将球B从同一点竖直向上抛出(忽略空气阻力),取g=10m/s2,为了使两球能在空中相遇,△t取值范围正确的是(C)

A.3s<△t<4s

B.0<△t<6s

C.2s<△t<8s

D.0<△t<8s

例题:某做直线运动的质点的位移一时间图像(抛物线)如图所示,P(2s,12m)为图线上的一点。PQ为过P点的切线,与x轴交于点Q(0,4)。已知t=0时质点的速度大小为8m/s,则下列说法正确的是(A)

A.质点做匀减速直线运动

B.2s时,质点的速度大小为6m/s

C.质点的加速度大小为0.5m/s2

D.0~1s内,质点的位移大小为4m

例题:在平直公路上行驶的a车和b车,其位移一时间图象分别为图中直线a和曲线b,已知b车加速度恒定且a=-2m/s2,t=3s时直线a和曲线b刚好相切,则下列说法正确的是(BC)

A.t=3s时b车的速度v=8/3m/s

B.t=0s时b车的速度v?=8m/s

C.t=0s时a车和b车的距离s?=9m

D.t=2s时a车和b车的距离s?=2m

例题:2019年7月12日~7月28日,世界游泳锦标赛在韩国光州举行,中国队共收获16枚金牌、11枚银牌和3枚铜牌,位列奖牌榜榜首。甲、乙两名运动员在长为25m的泳池里训练,甲的速率为v=1.25m/s,乙的位置一时间图像如图所示。若不计转向的时间,两人的运动均可视为质点的直线运动,则()

A.乙的速率为v?=1.0m/s

B.若两人同时从泳池的两端出发,经过1min共相遇了3次

C.若两人同时从泳池的同一端出发,经过6min共相遇了16次

D.两人一定不会在泳池的两端相遇

二、x/t-t图像

平均速度-时间图,表示0-t内的平均速度和时间的关系.

1.只能表示直线运动.

2.处理方法有两种

①写出解析式:x/t=0.5t+0.5

②猜想是匀变速直线运动,匀变速直线运动公式为x=v?t+at2/2,x/t=v?+at/2,斜率为a/2,截距为初速度v?.

3.横、纵坐标乘积表示0-t内位移(是状态面积而不是过程面积).

4.斜率表示a/2,截距表示初速度v?.

例题:一质点沿x轴正方向做直线运动,通过坐标原点时开始计时,其图像如图所示,则(C)

A.质点做匀速直线运动,速度为1m/s

B.质点做匀加速直线运动,加速度为0.5m/s2

C.质点在1s末速度为1.5m/s

D.质点在第1s内的位移为2m

例题:某汽车在平直公路上匀速行驶,因特殊情况需刹车,其刹车过程的x/t-t图像如图所示,下列说法正确的是(AC)

A.汽车刹车过程做的是匀减速直线运动

B.汽车从开始刹车,经5.0s停下来

C.汽车匀速行驶时的速度为10m/s

D.汽车刹车过程的加速度大小为2.0m/s2

例题:如图甲为测量重力加速度的实验装置,C为数字毫秒表,A、B为两个相同的光电门,C可以测量铁球两次挡光之间的时间间隔。开始时铁球处于A门的上边缘,当断开电磁铁的开关由静止释放铁球时,A门开始计时,落到B门时停止计时,毫秒表显示时间为铁球通过A、B两个光电门的时间间隔t,测量A、B间的距离x。现将光电门B缓慢移动到不同位置,测得多组x、t数值,画出x/t随t变化的图线为直线,如图乙所示,直线的斜率为k,则由图线可知,当地重力加速度大小为g=2k;若某次测得小球经过A、B门的时间间隔为t?,则可知铁球经过B门时的速度大小为2kt?此时两光电门间的距离为kt?2.

三、v2-x图

与匀变速直线运动速度位移公式进行对比,v2-v?2=2ax.

在一小段位移△x内,物体视为匀变速直线运动,加速度a不变,则v′2-v2=2a△x,△(v2)=2a△x.

1.斜率表示2a.

2.截距表示v?2.

例题:如图所示是某物体做直线运动的v2-x图象(其中v为速

度,x为位置坐标),下列关于物体从x=0处运动至x?处的过程分析,其中正确的是(BC)

A.该物体做匀加速直线运动

B.该物体的加速度大小为v?2/2x?

C.该物体在位移中点的速度大于v?/2

D.该物体在运动中间时刻的速度大于v?/2

例题:在平直公路上有甲、乙两辆汽车同时从同一位置沿着同一方向做匀加速直线运动,它们速度的平方随位移变化的图象如图所示,

则(AB)

A.甲车的加速度比乙车的加速度大

B.在x=0.5m处甲、乙两车的速度相等

C.在x=0.5m处甲、乙两车相遇

D.在x=1.0m处甲、乙两车相遇

例题:近年来,我国的高速铁路网建设取得巨大成就,高铁技术正走出国门.在一次高铁技术测试中,机车由静止开始做直线运动.测试段内机车速度的二次方v2与对应位移x的关系图象如图所示.在该测试段内,下列说法正确的是(BC)

A.机车的加速度越来越大

B.机车的加速度越来越小

C.机车的平均速度大于v?/2

D.机车的平均速度小于v?/2

例题:物块在1N合外力作用下沿x轴做匀变速直线运动,图示为其位置坐标和速率的二次方的关系图线,则关于该物块有关物理量大小的判断正确的(D)

A.质量为1kg

B.初速度为2m/s

C.初动量为2kg·m/s

D.加速度为0.5m/s2

例题:如图甲所示,物块的质量m=1kg,初速度v?=10m/s,在一水平向左的恒力F作用下从O点沿粗糙的水平面向右运动,某时刻后恒力F突然反向,整个过程中物块速度的平方随位置坐标变化的关系图像如图乙所示,

取g=10m/s2.下列选项中正确的是(BD)

A.2~3s内物块做匀减速运动

B.在t=1s时刻,恒力F反向

C.恒力F大小为10N

D.物块与水平面间的动摩擦因数为0.3

四、v-x图

在匀变速直线运动中,

x=(v2-v?2)/2a,得到x-v图像是一条抛物线,如图,

将x对v求导得到斜率,斜率k=△x/△v=v/a,a=v/k,把x-v图像旋转90°再水平翻转就得到v-x图像.

斜率k′=△v/△x=a/v或者斜率k′=△v/△x=(△v/△t)·(△t/△x)=a/v.

得a=kv.

如果物体做匀速直线运动,v-x是水平开口的抛物线,反之也成立.

例题:一带负电粒子仅在电场力的作用下,从x轴的原点O由静止开始沿x轴正方向运动,其运动速度v随位置x的变化关系如图所示,图中曲线是顶点为O的抛物线,粒子的质量和电荷量大小分别为m和q,则下列说法正确的是(AC)

【解析】图中曲线是抛物线,则曲线表达式为x=x?v2/v?2,粒子只在电场力作用下运动,由动能定理得,Fx=?mv2,F=mv2/2x=mv?2/2x?(常数).

例题:小球从一定高度处由静止下落,与地面碰撞后回到原高度再次下落,重复上述运动。取小球的落地点为原点建立坐标系,竖直向上为正方向。下列速度v和位置x的关系图象中,能描述该过程的是(A)

例题:真空中,在x轴上的原点处和x=6a处分别固定一个点电荷M、N,在x=2a处由静止释放一个正点电荷P,假设试探电荷P只受电场力作用沿x轴方向运动,得到试探电荷P的速度与其在x轴上的位置关系,如图所示,则下列说法正确的是(D)

A.点电荷M、N一定都是负电荷

B.试探电荷P的电势能一定是先增大后减小

C.点电荷M、N所带电荷量的绝对值之比为2:1

D.x=4a处的电场强度一定为零

例题:如图甲所示,两个点电荷Q?、Q?固定在x轴上,其中Q?位于原点O,a、b是它们连线延长线上的两点。现有一带正电的粒子q以一定的初速度沿x轴从a点开始经b点向远处运动(粒子只受电场力作用),设粒子经过a、b两点时的速度分别为va、vb,其速度随坐标x变化的图象如图乙所示,则以下判断正确的是()

A.b点的场强一定为零

B.Q?带负电且电荷量小于Q?

C.a点的电势比b点的电势高

D.粒子在a点的电势能比在b点的电势能小

五、1/v-x图

1/v-x图像与横轴所围成的面积有明确的物理意义:取一小段位移△x,当作匀速直线运动,则,1/v·△x=△t.

1/v-x图像与横轴所围成的面积表示物体发生这段位移所用的时间.

例题:老鼠离开洞穴沿直线前进,它的速度与到洞穴的距离成反比,当它行进到离洞穴距离为d?的甲处时速度为v?,试求:

①老鼠行进到离洞穴距离为d?的乙处时速度多大.

②从甲处到乙处要用去多少时间.

?第二问常见错误解答如下

?第二问正确解答如下图

?需要指出的是

建立d-1/v图是错误的,因为微元面积d△(1/v)【不是d(1/△v)】没有意义,虽然单位也是时间.

同一个运动,建立不同坐标系,上面两个图,结果就完全不同.

例题:新冠疫情让2020届高三学生少了很多在校学习的时间,返校后为节约时间,小尧同学都是跑步去食堂吃饭。跑步过程中的1/v-x图象如图所示,为一条不过坐标原点的直线,假定从小尧的教室门口到食堂的道路为一水平直线道路,以教室门口为坐标原点,教室到食堂方向为x轴正方向,下列说法正确的是(A)

某科学小组研制了一种探测器,其速度大小可随运动情况进行调节。如图所示,在某次实验中,该探测器从原点O一直沿s轴正向移动,且其速度大小与位移大小成反比。已知探测器在A、B两点的速度分别为4m/s和2m/s,O点到B点的位移为2m,则探测器从A点运动到B点的时间为()

A.3s/8

B.1s/8

C.3s/4

D.1s/4

六、a-x图

假设一小段内是匀变速直线运动(a不变),根据运动学公式:v2-v?2=2ax,该小段内的面积为a·△x.由v2-v?2=2ax得△(v2)-v?2=2a·△x,则a·△x=?△(v2).

a-x图像与横轴所围成的面积表示对应位移内速度平方变化量的一半.

或者改成ma-x图,即F-x图,形状样式是没有变化的.

F-x图的面积表示合力的功.

a-x图像与横轴所围成的面积表示对应位移内合力做的功与质量的商.

例题:一质点做直线运动,加速度与位置坐标关系如下图所示,即:a=a?-ks,已知质点在x=0处速度v?求质点运动到x=x?处时的速度v.

例题:放在水平面上的物体,在水平力F作用下开始运动,以物体静止时的位置为坐标原点,力F的方向为正方向建立x轴,物体的加速度随位移的变化图像如图所示。下列说法错误的是(BCD)

A选项:0-x?,合力做功为ma?x?,根据动能定理得:

ma?x?=?mv?2,可得v?.

七、xi-t图像

例题:利用打点计时器研究小车做变速直线运动的实验,得到如图甲所示的一条纸带,在纸带上共取了A、B、C、D、E、F、G七个计数点,相邻的两个计数点之间还有四个点未画出,从每一个计数点处将纸带剪开分成六条(分别叫a、b、c、d、e、f),将这六条纸带由短到长紧靠但不重叠地粘在xOy坐标系中,得到如图乙所示的直放图,最后将各纸带上端中心连起来,于是得到表示v一t关系的图像.已知打点计时器的工作频率为50Hz.为表示v一t关系,图中x轴对应的物理量是时间t,y轴对应的物理量是速度v.

(1)若纸条c的长度为6.0cm,则图中t?为0.25s,v?是纸条c段的平均速度,v?=0.60m/s.(保留两位有效数字)

(2)若测得a段纸带的长度为2.0cm,f段纸带长度为12.0cm,则可求出加速度的大小为2.0m/s2.(结果保留两位有效数字

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