怎么理解波浪线和曲线(曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的曲率互为倒数)

2022年7月15日03:31:55怎么理解波浪线和曲线(曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的曲率互为倒数)已关闭评论

怎么理解波浪线和曲线(曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的曲率互为倒数)

我们从最初等的三角函数sinθ波形图来分析sinθ的导数原理,首先sinθ的值就是单位圆上的点到X轴的高度,随着θ的增大,高度总是在-1到+1之间来回变换,这种最初等的数学知识,却包含着丰富的数学原理,值得我们去探索

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我们一步一步来分析正弦波形图每个点斜率的变化情况,首先在原点处,sinθ是递增的,所以它的斜率是一个正值

我们继续往右走时,sinθ图像的斜率不断减小,在接近顶部时,斜率会较小到0

接着sinθ图像的斜率进入负值区域,首先会不断减小,接着又不断增加,但都是负值,如下图所示,然后图形又会变平,sinθ斜率又回到0,

这样不断类推下去,就可以绘制出完整的导数图形,

你可能会猜测这个导数就是cosθ,因为sinθ斜率变化的图形能完美的和余弦函数的波峰波谷的位置对应起来

下面我们就用严格的数学推导来验证下:

首先在如下圆上取微小的一端dθ,它对应的sinθ就是d(sinθ),如下图所示

因为取的是微小的一段dθ,所以dθ就是一条线段,而不是一段圆弧,而这个微元直角三角形和图中大的直角三角形相似,且θ角是dθ和d(sinθ)两条边的夹角

最终我们得到了d(sinθ)/ dθ=cosθ.

这也验证了我们上述的推论。

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