◆◆◆
作者 | 王至宏
广州大学数学系
▎勾股定理
公元前1000多年，商高答周公曰：“勾广三，股修四，径隅五。既方之，外半其一矩，环而共盘，得成三四五。”故而，勾股定理又称“商高定理”。
2002年数学家大会会标
从第一组勾股数发现至今，已过去3000多年。
对勾股数，你真的了解吗？
会标上的勾股定理
举个例子，请写出所有包含12的勾股数。
经过计算，容易求出这四组
[5,12,13]
[9,12,15]
[12,16,20]
[12,35,37]
但包含12的勾股数只有这4组吗？
此外，平时遇到的互素勾股数中，总有一个是4的倍数，且最大数与该数求和作差，结果都是平方数。
例如
[3,4,5]，5 4=32，5-4=12
[7,24,25]，25 24=72，25-24=12
[8,15,17]，17 8=52，17-8=32
[9,40,41]，41 40=92，41-40=12
是巧合还是一般规律？
如果有普遍的勾股数公式，这类命题就可以轻松论证了。
下边就来说说，公式应该怎么求。
勾股树
▎勾股数公式
早在古希腊时期，欧几里得就已经给出了勾股数公式。
而公式的证明，用初中知识就足够了。
很多时候，公式定理怎么得来，比怎么证明更加重要。
▎公式怎么求
公式的产生，有两种方法最常见。
一、直觉
说到公式直觉，就不得不提到，印度一千年来最伟大的数学家——拉马努金。
他没受过正规的高等数学教育，沉迷数论，惯以直觉导出公式，不喜作证明（事后往往证明他是对的）。
他留下的那些没有证明的公式，引发了后来的大量研究。
电影《知无涯者》
他有很强的直觉洞察力，虽未受过严格数学训练，却独立发现了近3900个数学公式和命题。
拉马努金恒等式
他经常宣称在梦中娜玛卡尔女神给其启示，早晨醒来就能写下不少数学公式和命题。他所预见的数学命题，日后有许多得到了证实。
——资料摘自百度百科
直觉是学识，阅历，人生经历等在一瞬间集合之后发生的反应。影响因素很多，通常还需要一万小时的刻意练习。这里重点介绍寻找公式的第二种方法。
二、合情推理
那美女归，林柳绿呀！（钠镁铝硅，磷硫氯氩）
初高中挖空心思背的元素周期表，都要归功于门捷列夫”玩”的一手好牌。
据说门捷列夫从小爱玩扑克牌，经常牌不离手。
有一回，他在撰写《化学原理》时，遇到了难题。为了寻找元素的科学分类方法，不得不研究有关元素之间的内在联系。
正在思考，请勿打扰
他埋头在图书馆里夜以继日地阅读、思考，并琢磨出一套特殊的“扑克牌”来帮助寻找元素之间的规律。
有一天，门捷列夫又旁若无人地摆弄起“纸牌”来了，摆着，摆着，他像触电似的站了起来，在他面前出现了完全没有料到的现象，每一行元素的性质都是按照原子量的增大而从上到下地逐渐变化着。
这一天，元素周期律被发现了。
巧合往往受原理支配，合情推理就是透过巧合寻找原理的过程。
合情推理的大致过程
把勾股数放在一起会出现什么规律？
▎勾股规律
初中经常遇到这几组勾股数，观察规律：
信息预处理
其中c-b总为1或2，把差为2的勾股数同除以2，再重新排列
调整排列
这时，规律比较明显了
a逐行增1，依次为：3,4,5,…
b相邻行作差，差值增1：3.5,4.5,5.5,…
c与b类似
根据规律，正推和逆推，补充式子
新添的式子也都成立
猜想：按规律递推下去，等式始终成立。
▎勾股公式
根据小学“找规律”题的套路，易得
于是
通过公式，可以生成无穷多勾股数，但未必可以生成所有勾股数。
猜想：公式[an,bn,cn]遍历正整数，再同乘一个整数可以得到所有勾股数。
很快，就遇到了例外：
[20,21,29]不能由递推式生成。
但如果n不取整数，令n=2.5
得
再同乘以8，也可以得到[20,21,29]
原公式有缺陷，需要改进，继续观察：
公式中，a为一次齐次函数，b和c为二次非齐次函数，缺少对称美
把常数1改为变元m，增加公式的对称性：
新公式中，abc均为二次齐次多项式
此时，新公式仍满足勾股定理，实际上这就是我们要找的公式。即公式中，m，n跑遍正整数时，可跑遍所有互素勾股数。
P.S. 这是初二时做的探究，过程可能比较啰嗦，但刚好体现了合情推理的过程。
▎回到问题
得到勾股公式（未证），再回顾最开始的两个问题。
-
互素勾股数[a,b,c]中，总有一个为4的倍数，不妨设为b，最大数为c，则c±b均为平方数。
求包含12的所有勾股数。
公式中
∵b，c为整数
∴m，n同奇偶且m<n
命题1：
①若m，n同为偶数，则4 | a
且此时[a,b,c]有公因子2。
②若m，n同为奇数
设m=2k 1,n=2t 1，则
又∵c-b=m2
c b=n2
即c±b为平方数，命题1成立。
命题2的一般形式是，求包含k的所有勾股数，在下篇的公式应用中再一并讨论。
公式的证明及应用，下一篇再继续讨论吧。
* 本文作者王至宏，广州大学数学系大四学生，好玩的数学实习作者。欢迎更多人加入到数学科普写作的队伍，好玩的数学给你一个展示才华的平台。
好玩的数学
微信号：mathfun
↑
好玩的数学以数学学习为主题，以传播数学文化为己任，以激发学习者学习数学的兴趣为目标，分享有用的数学知识、有趣的数学故事、传奇的数学人物等，为你展现一个有趣、好玩、丰富多彩的数学世界。
↓
点阅读原文，发现更多好玩的数学。
