一个公式玩转勾股数(上)(勾股公式数字)

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作者 | 王至宏

广州大学数学系

▎勾股定理

公元前1000多年,商高答周公曰:“勾广三,股修四,径隅五。既方之,外半其一矩,环而共盘,得成三四五。”故而,勾股定理又称“商高定理”。

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2002年数学家大会会标

从第一组勾股数发现至今,已过去3000多年。

对勾股数,你真的了解吗

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会标上的勾股定理

举个例子,请写出所有包含12的勾股数。

经过计算,容易求出这四组

[5,12,13]

[9,12,15]

[12,16,20]

[12,35,37]

但包含12的勾股数只有这4组吗?

此外,平时遇到的互素勾股数中,总有一个是4的倍数,且最大数与该数求和作差,结果都是平方数

例如

[3,4,5],5 4=32,5-4=12

[7,24,25],25 24=72,25-24=12

[8,15,17],17 8=52,17-8=32

[9,40,41],41 40=92,41-40=12

是巧合还是一般规律?

如果有普遍的勾股数公式,这类命题就可以轻松论证了。

下边就来说说,公式应该怎么求。

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勾股树

勾股数公式

早在古希腊时期,欧几里得就已经给出了勾股数公式。

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而公式的证明,用初中知识就足够了。

很多时候,公式定理怎么得来,比怎么证明更加重要。

公式怎么求

公式的产生,有两种方法最常见。

一、直觉

说到公式直觉,就不得不提到,印度一千年来最伟大的数学家——拉马努金

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他没受过正规的高等数学教育,沉迷数论,惯以直觉导出公式,不喜作证明(事后往往证明他是对的)。

他留下的那些没有证明的公式,引发了后来的大量研究。

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电影《知无涯者》

他有很强的直觉洞察力,虽未受过严格数学训练,却独立发现了近3900个数学公式和命题。

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拉马努金恒等式

他经常宣称在梦中娜玛卡尔女神给其启示,早晨醒来就能写下不少数学公式和命题。他所预见的数学命题,日后有许多得到了证实。

——资料摘自百度百科

直觉是学识,阅历,人生经历等在一瞬间集合之后发生的反应。影响因素很多,通常还需要一万小时的刻意练习。这里重点介绍寻找公式的第二种方法。

二、合情推理

那美女归,林柳绿呀!(钠镁铝硅,磷硫氯氩)

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初高中挖空心思背的元素周期表,都要归功于门捷列夫”玩”的一手好牌。

据说门捷列夫从小爱玩扑克牌,经常牌不离手。

有一回,他在撰写《化学原理》时,遇到了难题。为了寻找元素的科学分类方法,不得不研究有关元素之间的内在联系。

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正在思考,请勿打扰

他埋头在图书馆里夜以继日地阅读、思考,并琢磨出一套特殊的“扑克牌”来帮助寻找元素之间的规律。

有一天,门捷列夫又旁若无人地摆弄起“纸牌”来了,摆着,摆着,他像触电似的站了起来,在他面前出现了完全没有料到的现象,每一行元素的性质都是按照原子量的增大而从上到下地逐渐变化着。

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这一天,元素周期律被发现了。

巧合往往受原理支配,合情推理就是透过巧合寻找原理的过程

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合情推理的大致过程

把勾股数放在一起会出现什么规律?

勾股规律

初中经常遇到这几组勾股数,观察规律:

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信息预处理

其中c-b总为1或2,把差为2的勾股数同除以2,再重新排列

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调整排列

这时,规律比较明显了

a逐行增1,依次为:3,4,5,…

b相邻行作差,差值增1:3.5,4.5,5.5,…

c与b类似

根据规律,正推和逆推,补充式子

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新添的式子也都成立

猜想:按规律递推下去,等式始终成立。

勾股公式

根据小学“找规律”题的套路,易得

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于是 一个公式玩转勾股数(上)(勾股公式数字)

通过公式,可以生成无穷多勾股数,但未必可以生成所有勾股数。

猜想:公式[an,bn,cn]遍历正整数,再同乘一个整数可以得到所有勾股数。

很快,就遇到了例外:

[20,21,29]不能由递推式生成。

但如果n不取整数,令n=2.5

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再同乘以8,也可以得到[20,21,29]

原公式有缺陷,需要改进,继续观察:

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公式中,a为一次齐次函数,b和c为二次非齐次函数,缺少对称美

把常数1改为变元m,增加公式的对称性:

一个公式玩转勾股数(上)(勾股公式数字)

新公式中,abc均为二次齐次多项式

此时,新公式仍满足勾股定理,实际上这就是我们要找的公式。即公式中,m,n跑遍正整数时,可跑遍所有互素勾股数。

P.S. 这是初二时做的探究,过程可能比较啰嗦,但刚好体现了合情推理的过程。

回到问题

得到勾股公式(未证),再回顾最开始的两个问题。

  1. 互素勾股数[a,b,c]中,总有一个为4的倍数,不妨设为b,最大数为c,则c±b均为平方数。

  2. 求包含12的所有勾股数。

公式中

∵b,c为整数

∴m,n同奇偶且m<n

命题1:

①若m,n同为偶数,则4 | a

且此时[a,b,c]有公因子2。

②若m,n同为奇数

设m=2k 1,n=2t 1,则

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又∵c-b=m2

c b=n2

即c±b为平方数,命题1成立。

命题2的一般形式是,求包含k的所有勾股数,在下篇的公式应用中再一并讨论。

一个公式玩转勾股数(上)(勾股公式数字)

公式的证明及应用,下一篇再继续讨论吧。

* 本文作者王至宏,广州大学数学系大四学生,好玩的数学实习作者。欢迎更多人加入到数学科普写作的队伍,好玩的数学给你一个展示才华的平台。

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