同底数幂相减 底数不变 指数

2022年5月14日08:12:22同底数幂相减 底数不变 指数已关闭评论

 

幂运算法则的逆向运用

幂运算法则指的是:

(1)同底数幂相乘,底数不变,指数相加,即a^m×a^n=a^(m+n);

(2)同底数幂相除,底数不变,指数相减,即a^m÷a^n=a^(m-n);

(3)幂的乘方,底数不变,指数相乘,即(a^m)^n=a^(mn);

(4)积的乘方等于乘方的积,(ab)^n=a^nb^n.

逆向运用这些法则就是:

(1)a^(m+n)=a^m×a^n,即指数和的幂等于同底数幂的积;

(2)a^(m-n)=a^m÷a^n;即指数差的幂等于同底数幂的商;

(3)a^(mn)=(a^m)^n;即指数积的幂等于幂的乘方;

(4)a^nb^n=(ab)^n,即同指数幂的积等于积的幂.

逆向运用幂运算法则可以解决一些具有一定难度的幂的问题.请看:

例1 已知2^a=6,2^b=3,

则2a-b+2=______.

分析与解:逆向运用幂运算法则,得:

2^(a-b+2)=2^a÷2^b×2^2=6÷3×4=8.

例2(2021·广东中考题)

已知9^m=3,27^n=4,

则3^(2m+3n)=( )

A.1 B.6 C.7 D.12

分析与解3^(2m+3n)是指数积与和的幂,逆向运用幂的运算法则,把它化为幂的乘方及幂的乘积,得:

3^(2m+3n)=3^(2m)×3^(3n)

=(3^2)^m×(3^3)^n

=9^m×27^n=3×4=12,

故选D.

例3(2021·四川达州中考题)

已知a,b满足等式

a^2+6a+9+√(b-1/3)=0,

则a^2021b^2020=___________.

分析与解:将已知等式变形,化为

(a+3)^2+√(b-1/3)=0,

由非负数性质,得:

a=-3,b=1/3,所以ab=-1,

所以a^2021b^2020=a×a^2020b^2020

=a×(ab)^2020=(-3)×(-1)^2020=-3.

例4 如果2^a=6,2^b=3,

则a-b等于( )

A.1 B.2 C.3 D.4

分析与解:因为a,b是幂的指数,欲求a-b的值,先考虑构造一个指数为a-b的幂,由于已知幂的底数为2,所以构造底数为2,指数为a-b的幂,然后再求它的值.

由已知,得:

2^(a-b)=2^a÷2^b=6÷3=2,

即2a-b=2,

比较两边的指数,得:a-b=1,

故选A.

例5 已知a^x=ab^2,a^y=a^2/b,

则x+2y的值等于_________.

分析与解:构造一个以a为底数,x+2y为指数的幂,得:

a^(x+2y)=a^x×a^(2y)

=ab^2×(a^y)^2

=ab^2×a^4/b^2=a^5,

即a^(x+2y)=a^5,

比较两边的指数,得:x+2y=5.

例6 已知3^x=108,3^y=6,则x,y满足的关系式是( )

A.x-y=1 B.x-y=2

C.x-2y=1 D.x-2y=2

分析与解:依次构造以3为底,指数分别为x-y,x-2y的幂,再逆向运用幂的运算法则进行计算.

3^(x-y)=3^x÷3^y

=108÷6=18≠31,≠32,

所以x-y≠1,≠2,

可排除A和B;

3^(x-2y)=3^x÷3^(2y)=108÷(3^y)2

=108÷6^2=3=3^1,

所以2x-y=1,故选C.

例7 已知5^m=100,5^n=40,则m,n满足的关系式是_______________.

分析与解:构造一个以5为底的幂,该幂经过计算后能够得到一个仍然是以5为底的幂,然后通过比较幂的指数而获解.显然,这样的幂只能来自已知的两个等式相除,约去所有非5的因数而获得.

由于100含有非5的因数2^2,40含有非5的因数2^3,它们相除后要能够约掉,必须是把2^2立方,把2^3平方,因此,

把5^m=100=2^2×5^2的两边立方,得:

5^(3m)=2^6×5^6,

把5^n=40=2^3×5的两边平方,得:

5^(2n)=2^6×5^2,

所以5^(3m-2n)

=5^(3m)÷5^(2n)

=2^6×5^6÷(2^6×5^2)

=5^4,

即5^(3m-2n)=5^4,

所有m,n满足的关系式是3m-2n=4.

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