cos15度等于多少用分数表示(cos15度等于多少根号怎么算)

2022年5月15日03:49:00cos15度等于多少用分数表示(cos15度等于多少根号怎么算)已关闭评论
cos15度等于多少用分数表示(cos15度等于多少根号怎么算)

对于30°,45°,60°角的三角函数值,我们都可以通过定义利用特殊直角三角形三边的关系计算,那么碰到像15°,22.5°,67.5°等特殊角的三角函数能否计算呢?答案是肯定的,可以构造相关图形,数形结合进行巧算。

一.巧构造15°与30°角的关系的图形计算15°角的三角函数值

1.求sin15°,cos15°,tan15°的值.

【分析】我们已熟记30°角的三角函数值,因为15°角为30°角的1/2,则可利用含30°角的直角三角形构造出含15°角的直角三角形,从而求出15°角的三角函数值,如图,

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在Rt△ABC中,∠BAC=30°,∠C=90°,延长CA到D,使AD=AB,连接BD则∠D=15°,设BC=a,则AB=2a,AC=√3a,∴AD=2a,CD=(2+√3)a,在Rt△BCD中,由勾股定理得BD=√[a2+(7+4√3)a2]=√2a×√(4+2√3)=√2a×√(√3+1)2=(√6+√2)a,∴sin15°=sinD=BC/BD=a/(√6+√2)a=(√6一√2)/4,cos15°=cosD=CD/BD=(2+√3)a/(√6+√2)a=(√6+√2)/4,tan15°=tanD=BC/CD=a/(2+√3)a=2一√3.

二.巧构造22.5°与45°角的关系的图形计算22.5°角的三角函数值

2.求tan22.5°的值.

【分析】与第1题类似,利用22.5°=45°/2,在含45°角的直角形的基础上构造22.5°角,如图

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在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=BC,延长CA到D,使DA=AB,连接BD,则∠D=22.5°,设AC=BC=a,则AB=√2a,AD=√2a,DC=(√2+1)a,∴tan22.5°=tanD=BC/CD=a/(√2+1)a=√2一1.

三.巧用折叠法求67.5°角的三角函数值

3.将如图所示的矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠,使点A落在BC边上的点E处,还原后,再沿过点E的直线折叠,使点A落在BC边上的点F处,求出67.5°角的正切值.

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【分析】依题分析知,AB=BE,∴∠AEB=∠EAB=45°,AE=EF,∴∠EAF=∠EFA=22.5°,∴∠FAB=67.5°,设AB=a,则BE=a,AE=EF=√2a,∴tan67.5°=tan∠FAB=FB/AB=(√2a+a)/a=√2+1.

四.巧用含36°角的等腰三角形中的相似关系求18°,72°角的三角函数值

4.求sin18°,cos72°的值.

【分析】我们知顶角为36°的等腰三角形,有其特殊性,如图,

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作△ABC使∠BAC=36°,AB=AC,∠ABC的平分线BD交AC于D点,过点A作AE⊥BC于E点,则∠BAE=∠CAE=18°,∠ABE=∠ACB=∠BDC=72°,∠DBC=36°,设BC=a,则BE=a/2,BD=AD=a,易知△ABC∽△BCD,∴AB/BC=BC/CD,∴AB/a=a/(AB一a),即AB2一AB×a一a2=0,∴AB=a(√5+1)/2(负根舍去).∴sin18°=sin∠BAE=BE/AB=(√5一1)/4.cos72°=cos∠ABE=BE/AB=(√5一1)/4.

五.巧用75°与30°角的关系构图求75°角的三角函数值

5.求sin75°,cos75°,tan75°的值.

【分析】作△ABD,使∠ADB=90°,∠DAB=30°,延长BD到C,使DC=DA,连接AC,过点B作BE⊥AC于E,则∠BAE=75°,如图,

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设AD=DC=a,则AC=√2a,BD=√3a/3,AB=2√3a/3,∴BC=BD+CD=(√3/3+1)a,∴CE=BE=BCsin45°=(√6+3√2)a/6,∴AE=AC一CE=(3√2一√6)a/6,∴sin75°=sin∠BAE=AE/AB=(3√2十√6)a/6÷2√3a/3=(√6+√2)/4.cos75°=cos∠BAE=AE/AB=(√6一√2)/4,tan75°=tan∠BAE=BE/AE=2+√3.

【总结】依据已有的旧知识,化新知识为旧知识,用熟知的旧知识解决困难的新知识,是研究解决问题的常用方法,体现了转化的思想方法.

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