泰勒公式与微积分关系（泰勒公式与微分的关系）
01 开场白
自从我努力将所学知识以动图的形态呈现给大家之后，我惊喜的发现我对知识点的理解变得更加的透彻了。这难道就是：
初高中学习是孩子处于青春期的阶段，也是孩子学习当中最关键的六年，因为它涉及到了中考与高考，左养中学教育赖颂强再讲孩子的学习方法和考试心里调节的直播课里，系统的讲解到如何帮孩子提升学习效率，提升考试时候的心理素质，从而提升学习成绩。
予人玫瑰，手留余香！
泰勒公式是非常非常重要的一个工具，同时也是不容易理解消化的知识点。如果你认为这篇文章讲解的好，请分享给身边的大学生，不管是亲戚、朋友。
02 cos(x)在0点附近的泰勒分解
cos(x)
当我们仔细观察 g(x)=cos(x) 函数的时候，当 x=0 处的图形和抛物线的图形（红色）相似度极高。
红色抛物线的公式可表示如下：
抛物线公式
当 x=0 时，g(0)=cos(0)=1。 我们的目的是将抛物线 f(x) 和 cos(x) 的图形尽量逼近。那么，在 x=0 时， f(0)=g(0)=1。
x=0处值
图1：抛物线变换（一）
上图所示，在我们定下 c=1的情况下，第二项中 a 的值将会对抛物线在 x=0 处切线斜率产生影响。cos(x) 在 x=0 出的图形切线斜率为 0（红线所示）。自然，我们也需要将抛物线在 x=0 处切线斜率逼近 0。
切线的斜率=切线函数的一阶导数
一阶导数
我们需要保证 f(x) 和 g(x) 在 x=0 处的切线斜率相等，那么 a=0。
图2：抛物线变换（二）
上图所示抛物线公式中 b 对于图形形状的影响。二阶导数是个很抽象的概念，有的表达式 切线斜率的变化率。这并不方便记忆，所以我们可以结合导数的物理意义来帮助记忆。
- 路程 S 的一阶导数对应 速度 V；
- 路程 S 的二阶导数对应 加速度 α；
图3：抛物线变换（三）
我们分别在两个图形上定两个小球，由于两个图形的一阶导数（速度）为0，也就是初始速度都是0。之后，我们可以清楚的看到，红色曲线上的小点运动加速度要大于蓝色曲线上的小点。这就是 抛物线公式中 b 对整体的影响。
知道这一点后，我们就可以通过二阶导数相等去求出 b 了。
二阶导数
如上所示，2b=-1, b=-0.5。
所以抛物线的方程可以如下表示：f(x)=1 – 0.5 * x^2
图4：抛物线变换（四）
03 结果验证
我们得到了 cos(x) 在 x=0 处的泰勒公式近似公式，那么是不是可以用该公式求cos(x)的近似值呢？
- 当 x=0.1时：
cos(0.1)=0.995994165
1 – 0.5 * x^2=0.995
- 当 x=0.5时：
cos(0.5)=0.877582562
1 – 0.5 * x^2=0.875
我们发现，当 x 的取值离 x=0 越来越远，则误差越来越大。从图4中也能看出，蓝色和红色小球之间的距离越来越远。
这不代表我们的公式有问题，是因为我们的公式推导过程本身就是基于 x=0 附近的点的近似求解。自然 x 的值里0点越远越不准。
那么怎么样提高精度呢？我们可以不断的在公式后面增加更高次幂的式子。
我们一起来看看我们不断增加高次幂之后，两个图形的重合度有什么变化吧。
图5：抛物线变换（五）
在 x 取别的值的时候，我们依然可以按照上述过程进行泰勒展开。当我们 在 x=π 的时候做泰勒展开，图形会如图6般美妙。
图6：抛物线变换（六）
泰勒公式通式：
泰勒公式
04 泰勒公式的几何意义
图7：泰勒公式几何意义
那么，蓝色、红色和绿色的面积分别为多少呢？
也就是说，泰勒公式中
- 第一项为蓝色的面积区域；
- 第二项为红色的面积区域；
- 第三项为绿色的面积区域；
- 依次类推，不断增进精度。
05 总结
理解知识才能熟练掌握，而将数学、几何和物理融会贯通才能所向披靡。
这么辛苦写了这篇文章，不关注点赞就过分了啊。
