含三角函数的导数与微分（三角函数在无穷上的积分）
在数学、物理学和工程力学等诸多领域，矢量是很一个重要的概念。简单的去理解它，就是带方向的量，比如力F，速度v等都要作矢量分割。尤其在工程力学领域，两个不方向的量，其性质可能会有本质的区别。比如下图：
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这是一个对曲杆进行内力分析的微分单元。
在这个微分单元的左侧，对于轴力N，其在切向上的分矢量N*sin θ/2，和剪切力Q的分矢量Q*cos θ/2构成剪切力的合力；而剪切力Q也一样，其在轴向上的分矢量Q*sin θ/2，和轴力N的分矢量N*cos θ/2构成轴力的合力。
在这个微分单元的右侧，是对左侧进行一个微增量后的结果。比如，轴力有微增dN，而dN=q(s)*rdθ，其中rdθ替代的是曲杆的微弧长dl。对于dN，仍然要进行矢量分割，dN*sin θ/2计入剪切力，dN*cos θ/2计入轴力。最终求积的微分中一定会有这样的存在：r*sin θ/2*dθ或r*cos θ/2*dθ。
从某种意义上说，微积分本身就是应曲线研究而生的。曲线微增量dl是无法取值的，只能转换成dl=rdθ，再换算成X轴和Y轴的分矢量r*cosθ*dθ和r*sinθ*dθ。这使得我们在用微分积解决问题时，非常大的概率会遇到三角函数求导数或求积分。
可以说，三角函数是微积分中最重要的基本函数，在十六个简单导数中它占了十个之多。
既然明确了三角函数的重要性，那我们不妨进一步了解一下这十个简单导数的求导过程。
1、正弦函数y=sin x;
(sin x)’=lim(h→0)[sin(x+h)-sin x]/h
=lim(h→0)[2cos (x+h/2)*sin h/2]/h
=lim(h→0)cos (x+h/2)*lim(h→0)[sin h/2/(h/2)]
=cos x
2、余弦函数y=cos x;
(cos x)’=lim(h→0)[cos(x+h)-cos x]/h
=lim(h→0)[-2sin (x+h/2)*sin h/2]/h
=lim(h→0)[-sin (x+h/2)]*lim(h→0)[sin h/2/(h/2)]
=-sin x
3、正切函数y=tg x;
(tg x)’=(sin x/cos x)’
=[(sin x)’*cos x-sin x*(cos x)’]/cos^2 x
=(cos^2 x+sin^2 x)/cos^2 x
=1/cos^2 x
=sec^2 x
4、余切函数y=ctg x;
(ctg x)’=(cos x/sin x)’
=[(cos x)’*sin x-cos x*(sin x)’]/sin^2 x
=-(sin^2 x+cos^2 x)/sin^2 x
=-1/sin^2 x
=-csc^2 x
5、正割函数y=sec x;
(sec x)’=1/cos x
=[(1)’*cos x-1*(cos x)’]/cos^2 x
=sin x/cos^2 x
=sec x*tg x
6、余割函数y=csc x;
(csc x)’=1/sin x
=[(1)’*sin x-1*(sin x)’]/sin^2 x
=-cos x/sin^2 x
=-csc x*ctg x
7、反正弦函数y=arc sin x;
因为y=arc sin x是x=sin y的反函数，所以有，(arc sin x)’=1/(sin y)’=1/cos y。接下来，我们把余弦cos y转换成正弦sin y，并进一步转换成x。
因为，cos y=√(1-sin^2 y)=√(1-x^2)，所以有，(arc sin x)’=1/√(1-x^2)。
8、反余弦函数y=arc cos x;
因为y=arc cos x是x=cos y的反函数，所以有，(arc cos x)’=1/(cos y)’=-1/sin y。接下来，我们把sin y转换成余弦cos y，并进一步转换成x。
因为，sin y=√(1-cos^2 y)=√(1-x^2)，所以有，(arc sin x)’=-1/√(1-x^2)。
9、反正切函数y=arc tg x;
因为y=arc tg x是x=tg y的反函数，所以有，(arc tg x)’=1/(tg y)’=1/sec^2 y。接下来，我们把sec y转换成余弦tg y，并进一步转换成x。
因为，sec^2 y=1+tg^2 y，所以有，(arc tg x)’=1/√(1+x^2)。
10、反余切函数y=arc ctg x;
因为y=arc ctg x是x=ctg y的反函数，所以有，(arc ctg x)’=1/(ctg y)’=-1/cec^2 y。接下来，我们把cec y转换成余弦ctg y，并进一步转换成x。
因为，cec^2 y=1+ctg^2 y，所以有，(arc ctg x)’=-1/(1+x^2)。
有这十个三角函数的导数做基础，再也不用担心曲线分析了。
