天元术是利用"元"这个字表示未知数列方程的一般方法，与现在代数学中列方程的方法基本一致，但写法不同，源于我大中国宋元时期的天元术。具体地说它首先要"立天元一为某某"，相当于"设x为某某"，再根据问题给出的条件列出两个相等的代数式。然后，通过类似合并同类项的过程，得出一个一端为零的方程。
天元术的出现，提供了列方程的统一方法，其步骤要比阿拉伯数学家的代数学进步得多。而在欧洲，则是至16世纪才做到这一点。
01天元术产生的渊源
天元术产生的直接渊源，是道教的"天元"思想。首先，天元术渊源金元时期的山西、河北、山东一带，正是金元道教发展的活跃地区；其次，从天元术的主要贡献者李冶的生平事迹来看，其数学思想直接传承于道门隐士。
我国古代历史悠久，特别是数学成就更是十分辉煌，在民间流传着许多趣味数学题，一般都是以朗朗上口的诗歌形式表达出来。其中就有许多方程题。比如有一首诗问周瑜的年龄：
大江东去浪淘尽，千古风流数人物。
而立之年督东吴，早逝英年两位数。
十比个位正小三，个位六倍与寿符。
哪位学子算得快，多少年华属周瑜？
依题意得周瑜的年龄是两位数，而且个位数字比十位数字大3，若设十位数字为x，则个位数字为（x 3），由"个位6倍与寿符"可列方程得：6（x 3）=10x （x 3），解得x=3，所以周瑜的年龄为36岁。这些古代方程题非常有趣，普及了数学知识，激发了人们的数学思维。
在古代数学中，列方程和解方程是相互联系的两个重要问题。宋代以前，数学家要列出一个方程，如唐代著名数学家王孝通撰写的《缉古算经》，首次提出三次方程式正根的解法，能解决工程建设中上下宽狭不一的计算问题，是对我国古代数学理论的卓越贡献，比阿拉伯人早300多年，比欧洲早600多年。
02李冶促进天元术发展到相当成熟的新阶段
随着宋代数学研究的发展，解方程有了完善的方法，这就直接促进了对于列方程方法的研究，于是出现了我国数学的又一项杰出创造——天元术。
据史籍记载，金元之际已有一批有关天元术的著作，尤其是数学家李冶和朱世杰的著作中，都对天元术作了清楚的阐述。
李冶所著《测圆海镜》一书，标志着天元术的成熟，书中所发展的天元术理论和数学思想，对宋元数学的长足进步有着重要意义。今人白尚恕先生曾归纳总结出李冶《测圆海镜》在数学方面的十大贡献：
第一，一个文字按其不同位置及系数以表示未知数的各次项，使得由文词代数能顺利地演变成符号代数。
第二，第二，对十进小数的表示法，与现今十进小数表示法，只差一个小数点。
第三，利用乘法消去分母，使分式化为整式。这种方法与现今分式方程的解法相一致。
第四，利用乘方消去根号，使根式化为有理式。这种方法与现今无理方程的解法相一致。
第五，创立升位法或降位法，对某些特殊方程在解法上提供了方便。
第六，在某种意义上，对整指数幂与负指数幂的理解，与现今的理解比较相近。
第七，在所列方程的次数上，比唐初王孝通时代有显著的增高。
第八，所列方程突破了秦九韶"实常为负"的限制。
第九，对于筹式的写法，给四元术提供了有利条件。
第十，在书末出现了文词代数式的初步尝试。
例如《测圆海镜》卷二最后一题为例：
"或问：出西门南行四百八十步有树，出北门东行二百步见之。问城径几何？" 《测圆海镜》全书共含170个问题，均围绕"勾股容圆"而设，即都与直角三角形内切圆有关。这里，西门、北门是指圆城的西门、北门。
李冶给出的解题过程如下：
"立天元一为半径。置南行步在地，内减天元半径，得
为股圆差。又置乙东行步在地，内减天元，得下式
为勾圆差。以勾圆差增乘股圆差，得
为半段黄方幂，即城幂之半也。又置天元幂以倍之，得
亦为半段黄方幂。与左相消，得
如法开之，得半径，合问。"
易于用今天的代数语言对上述解题过程作出解释。如图1，设圆城半径为x，则
从李冶的天元术解题过程可见，多项式的写法是：只列出各项系数，按幂的次数从低到高的顺序，由下至上排列。一次项系数旁标一"元"字（有时也在常数项旁标一"太"字），上面依次为二次项系数，三次项系数，等等，而下面为常数项。例如，图2（采自《测圆海镜》卷六）表示的就是三次多项式
方程总是化成右边等于零的形式，因此只需写出左边的多项式；只不过此时不再出现"元"字，因为最下面一个数总是常数项，不会产生歧义。
可以说，李冶在数学专著《测圆海镜》中通过勾股容圆问题全面地论述了设立未知数和列方程的步骤、技巧、运算法则，以及文字符号表示法等，使天元术发展到相当成熟的新阶段。
《益古演段》则是李冶为天元术初学者所写的一部简明易晓的入门书。他还著有《敬斋古今黈》、《敬斋文集》、《壁书丛削》、《泛说》等，前一种今有辑本12卷，后3种已失传。
朱世杰的代表作《四元玉鉴》记载了他所创造的高次方程组的建立与求解方法，以及他在高阶等差级数求和、高阶内插法等方面的重要成就。
除李冶、朱世杰外，元代色目人学者赡思《河防通议》中也有天元术在水利工程方面的应用。
03朱世杰的四元术
李冶之后，天元术经二元术、三元术，到了元代朱世杰的《四元玉鉴》，进一步发展为四元术。"其法以元气居中，立天元一于下，地元一于左，人元一于右，物元一于上"。朱世杰分别称一元方程为"一气混元"、二元方程为"两仪化元"、三元方程为"三才运元"、四元方程为"四象会元"，汲取了天元术的思想方法，参照了线性方程组用算筹摆出的"矩阵"运算方法，创造出以"天"、"地"、"人"、"物"表示四个不同未知数的四元高次方程组的数值解法，成功解决了四元高次方程组的建立和求解问题，达到了宋元数学的最高成就。而从名称来看，朱世杰的《四元玉鉴》天、地、人与物并列的四象会元方法，也极有可能受到道教思想的影响。
朱世杰所著《算学启蒙》共3卷259问,内容包括常用数据、度量衡和田亩面积单位的换算、筹算四则运算法则、筹算简法、分数、比例、面积、体积、盈不足术、高阶等差级数求和、数字方程解法、线性方程组解法、天元术等，是一部较全面的数学启蒙书籍。其中所给出的正负数乘除法则和完整的九归除法口诀,为中国数学史上首次出现。该书流传到朝鲜、日本等国，在我国一度失传。1839年得到朝鲜翻刻本重新翻印流传,后人多有注释。
继天元术之后，数学家又很快把这种方法推广到多元高次方程组，最后又由朱世杰创立了四元术。自从《九章算术》提出了多元一次联立方程后，多少世纪没有显著的进步。
在列方程方面，蒋周的演段法为天元术做了准备工作，他已经具有寻找等值多项式的思想；洞渊马与信道是天元术的先驱，但他们推导方程仍受几何思维的束缚；李冶基本上摆脱了这种束缚，总结出一套固定的天元术程序，使天元术进入成熟阶段。
在解方程方面，贾宪给出增乘开方法，刘益则用正负开方术求出四次方程正根，秦九韶在此基础上解决了高次方程的数值解法问题。
至此，一元高次方程的建立和求解都已实现。
线性方程组古已有之，所以具备了多元高次方程组产生的条件。李德载的二元术和刘大鉴的三元术相继出现，朱世杰集前人研究之大成，对二元术、三元术总结与提高，把"天元术"发展为"四元术"，建立了四元高次方程组理论。
朱世杰的
《四元玉鉴》共3卷288问， 内容包括高次方程组（最多可包括 4个未知数）的解法,高阶等差级数求和,高次内插法等重要贡献。朱世杰集前贤之大成,建立四元高次方程理论,称之为"四元术"。他用天、 地、人、物表示四个未知数,相当于现在的x,y,z,u,把常数项放在中央 （记为"太"），各未知数的各次幂依次放在上下左右,而各未知数各次幂的两两乘积则置于平面的相应位置。书中还出现最早的多项式运算和多元高次方程组的解法。此外朱世杰将高阶等差级数求和高次内插法进行了发展,实际上已得到任意高次差的招差公式，比西方同类结果早近400年。
《四元王鉴》被认为是中国数学著作中较重要的一部。也是整个中世纪最杰出的数学著作之一。朱世杰等人的工作在许多方面居世界前列,使中国古代数学发展到顶峰。其中有的例题相当复杂，数字惊人的庞大，不但过去从未有过，就是今天也很少见。可见朱世杰已经非常熟练地掌握了多元高次方程组的解法。
"四元术"是多元高次方程组的建立和求解方法。用四元术解方程组，是将方程组的各项系数摆成一个方阵。
其中常数项右侧仍记一"太"字，4个未知数一次项的系数分置于常数项的上下左右，高次项系数则按幂次逐一向外扩展，各行列交叉处分别表示相应未知数各次幂的乘积。
解这个用方阵表示的方程组时，要运用消元法，经过方程变换，逐步化成一个一元高次方程，再用增乘开方法求出正根。
从四元术的表示法来看，这种方阵形式不仅运算繁难，而且难以表示含有4个以上未知数的方程组，带有很大的局限性。
我国代数学在四元术时期发展至巅峰，如果要再前进一步，那就需要另辟蹊径了。后来，清代的代数学进展是通过汪莱等人对于方程理论的深入研究和引进西方数学这两条途径来实现的。
元代数学家朱世杰建立了四元高次方程组解法"四元术"，居于世界领先水平。在外国，多元方程组虽然也偶然在古代的民族中出现过，但较系统的研究却迟至16世纪。
1559年法国人彪特才开始用A、B、C等来表示不同的未知数。过去不同未知数用同一符号来表示，以致含混不清。正式讨论多元高次方程组已到18世纪，由探究高次代数曲线的交点个数而引起。
1100年法国人培祖提出用消去法的解法，这已在朱世杰之后四五百年了。
04 我们落伍了？应该思考的是什么
纵观中国传统数学的历史发展和演变过程，作为中华民族光辉灿烂的古代科学文化的一个重要组成部分，它有着同西方数学截然不同的风格，表现出独具一格的特色。
中国传统数学内容的实用性，决定了它的知识体系采取"实际问题——计算方法"的有效格式。以算为主，不仅筹算不用运算符号，运算不保留中间过程，"大乘除皆不下照位，运筹如飞"，显得格外省事，而且，一类问题的算法——"术"，往往被处理成一套套的计算程序，犹如当今电子计算机中的"程序语言"。
中国传统数学自元末以后日渐衰微，其原因是多方面的。但是不可否认的是，中世纪中国数学为我们展现出古人的智慧，为后世提供了珍贵的参考价值。
《四元玉鉴》可以说是宋元数学的绝唱。元末以后，中国传统数学骤转衰落。整个明清两代(1368年—1911年)，不仅未再产生出能与《数书九章》、《四元玉鉴》相媲美的数学杰作，而且在清中叶乾嘉学派重新发掘研究以前，"天元术"、"四元术"这样一些宋元数学的精粹，竟长期失传，无人通晓。明初开始长达三百余年的时期内，除了珠算的发展及与之相关的著作(如程大位《算法统宗》，1592年)的出现，中国传统数学研究不仅没有新的创造，反而倒退了。
中国传统数学自元末以后落后的原因是多方面的。皇朝更迭的漫长的封建社会，在晚期表现出日趋严重的停滞性与腐朽性，数学发展缺乏社会动力和思想刺激。元代以后，科举考试制度中的《明算科》完全废除，唯以八股取士，数学社会地位低下，研究数学者没有出路，自由探讨受到束缚甚至遭禁锢。
同时，中国传统数学本身也存在着弱点。筹算系统使用的十进位值记数制是对世界文明的一大贡献，但筹算本身却有很大的局限性。在筹算框架内发展起来的半符号代数"天元术"与"四元术"，就不能突破筹算的限制演进为彻底的符号代数。筹式方程运算不仅笨拙累赘，而且对有五个以上未知量的方程组无能为力。另一方面，算法创造是数学进步的必要因素，但缺乏演绎论证的算法倾向与缺乏算法创造的演绎倾向同样难以升华为现代数学。而无论是筹算数学还是演绎几何，在中国的传播都由于"天朝帝国"的妄大、自守而显得困难和缓慢。16、17世纪，当近代数学在欧洲蓬勃兴起以后，中国数学就更明显地落后了。
参考文献：1.林开亮，从杨辉三角到李善兰垛积术；
2.杜石然等编著，《中国科学技术史稿》
