线性相关与秩的关系(线性相关行列式等于0)

线性代数的课程中,你会被各种定义轰炸。线性代数教科书简直就是一本充满各种术语的字典,这些术语晦涩难懂,难以理解。学生们在考试前,只有几个月的时间来理解特征值,特征向量,厄米特矩等。

令人沮丧的是,老师通常不会在课堂上教矩阵的空间感、或者解释方程的深刻含义。相反,他们只是让你死记硬背解题方法,最终通过错误学习方法得到正确的答案,线性代数最终竟然被说成了是“文科”,背就可以了。线性代数实际上是数学的一个非常有趣的分支,但是当我们漫无目的地盯着矩阵看几个小时时,我们并不能理解它。

所以,今天我将带大家直观地理解线性代数中几个重要的概念:

  1. 线性相关、线性无关
  2. 扩张空间

我将用3篇文章分别深入探讨这三个概念。这篇文章用图案的类比,直观地解释了线性相关。扩张空间和基将在接下来的两篇文章中分析。

我假设你们熟悉向量的表示、向量的相加以及线性组合的概念。

色彩类比:线性相关

假设你是一个画家。如果我给你红、蓝、紫三种颜料,有没有可能把其中两种颜色混合在一起得到第三种颜色?答案显然是肯定的:红色和蓝色混合就会变成紫色。我们可以说这三种颜色是相互依赖的(线性相关)。

线性相关与秩的关系(线性相关行列式等于0)

  • 红+蓝=紫

如果我很吝啬,想在油漆上省钱,我可以只买红色和蓝色的颜料,而不是红色,蓝色,和紫色,因为我可以混合红色和蓝色的油漆得到紫色的油漆。所以,你可能会说“相互依赖”的结果是至少有一种颜色是不必要的(在这个例子中是紫色)。

每种颜色的比例也可以是不同的,而不仅仅是1:1的比例。如果我给你红、白和浅粉色三种颜料,你可能需要1份红色和16份白色才能得到那个特定的粉色。这些颜色仍然是相互依赖的,即使红色和白色的颜料组合不是五五开。

线性相关与秩的关系(线性相关行列式等于0)

  • 1分红+ 16分白=非常浅的粉红色

类似于色彩组合,向量的线性相关来自于组合向量来得到其他向量。假设有几个二维向量:v_1、v_2、w。这些向量绘制如下图。问:有没有一种方法组合v_1和v_向量来得到w向量?

线性相关与秩的关系(线性相关行列式等于0)

在这种情况下,如果把v_1和v_2乘以2,然后把它们相加就得到了向量w。

线性相关与秩的关系(线性相关行列式等于0)

那么我们称w是v_1和v_2的线性组合,这个向量序列是线性相关的。

线性无关

回到色彩组合,假设我给了你红,蓝,黄3种颜料。这些颜色是有关系的吗?有没有办法把两种颜色混合在一起得到第三种颜色?没有。再多的红色和黄色也不会产生蓝色,而只是得到不同深浅的橙色。同样,不管怎么把红色和蓝色混合在一起,也永远得不到黄色。所以我们称这三种颜色相互独立(线性无关)。

线性相关与秩的关系(线性相关行列式等于0)

  • 红+蓝无法组合成黄色,黄+蓝无法组合成红色,所以它们是相互独立的。

这与向量的线性无关相似但有点棘手,所以让我们从这开始:有没有办法组合v_1(0,1)和v_2(1,0)得到w(2,2)?本质上这个问题相当于解下面的方程,使等式成立:

线性相关与秩的关系(线性相关行列式等于0)

答案是肯定的,对于任意倍数的w,例如(4,4),我可以取4 (v_1)+ 4 (v_2)来得到2w。在这种情况下c?= 4、c?= 4、c3 = 2。你可能已经注意到下面的等式也是成立的:

线性相关与秩的关系(线性相关行列式等于0)

所有项都乘以0的“解”叫做平凡解。不管向量是线性相关的还是线性无关的,平凡解总是有效的,所以在这个意义上,平凡解没有用。

然而,另外两个解我们已经验证过,4 (v_1)+ 4 (v_2)= 2 (w)和2 (v_1)+ 2 (v_2)= w,这就意味着他们不是平凡解。

如果我有一些向量序列,比如(v_1,v_2,v_3,v_4,v_5),我想把这些向量组合得到另一个向量的倍数:

线性相关与秩的关系(线性相关行列式等于0)

如果这些向量对其中一个方程有非平凡解,那么这些向量是线性相关的。但是,如果没有一个非平凡解,这个序列是线性无关的。平凡解是与独立性无关的解。

我们以前的例子中,向量(v_1,v_2,w)是线性相关的。另一方面(v_1,v_2)本身是线性无关的,因为我们无法用v_1表示v_2或者用v_2表示v_1。

用色彩组合类比线性相关问题有点不准确,这里需要解释一下,红色+蓝色就是紫色,但是紫色+蓝色不是红色。但是在线性相关的向量中,任何向量都可以表示成其他向量的组合。

我已经证明w是v_1和v_2的组合,但是v_1也是v_2和w的组合,只是 不太明显:

线性相关与秩的关系(线性相关行列式等于0)

解决该问题的一种方法是,想象从混合颜料中去除一定量颜料。然后我们可以将紫色表示为1(红色)+ 1(蓝色),然后将蓝色表示为1(紫色)-1(红色)。这意味着拿紫色涂料,除去红色涂料的一部分,留下蓝色。

总结

  • 给定方程c_1v_1+ c_2v_2+…+ c_nv_n = 0v,其中所有v为向量,0v为零向量,c为标量,然后将所有c都设置为零称为平凡解
  • 如果存在对方程c_1v_1+ c_2v_2 +…+ c_nv_n = 0v的非平凡解(这实际上意味着无穷解),那么一组向量与线性相关
  • 如果不存在方程c_1v_1+ c_2v_2 +…+ c_nv_n = 0v的非平凡解,则这组向量是线性无关的。

线性相关性很重要的一个原因是,如果两个(或多个)向量线性相关,则其中必有一个是不必要的。这就像从调色板中删除紫色,因为已经有红色和蓝色(他们可以生成紫色)。

虽然通常不会以这种方式解释线性相关性和线性无关,但深入了解此概念很有帮助。它扩大了您对线性代数的理解范围。这就像看一幅地平线的画,有深红的落日和墨黑的河流。你会惊讶于画家在作画时所用的成千上万种颜色。或者,你可以注意到他们在整个过程中只使用红、黄、蓝。

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