自有记录的历史开始以来，数学的发现就一直处于每一个文明社会的前沿，甚至在最原始的文化中也得到应用。数学的需求是建立在社会需求的基础上的。社会越复杂，数学需求就越复杂。原始部落所需要的仅仅是数数的能力，他们还依靠数学来计算太阳的位置和狩猎的物理原理。
数学史
我们今天所知道的，在中国，印度，埃及，中美洲和美索不达米亚的几个文明为数学做出了贡献。苏美尔人是最早建立计数系统的人。数学家开发了算术，其中包括基本运算，乘法，分数和平方根。苏美尔人的体系通过公元前300年的阿卡德帝国传给巴比伦人。600年后，在美国，玛雅人发展了复杂的历法系统。大约在这个时候，零的概念得以发展。
随着文明的发展，数学家开始研究几何学，通过计算面积和体积来测量角度，并有许多实际应用。几何学被用于从家庭建筑到时尚和室内设计的一切。
几何学与代数密切相关，9世纪由波斯数学家穆罕默德·伊本·穆萨·阿勒霍瓦里兹米发明。他还开发了快速乘法和跳转数字的方法，这些方法被称为算法
代数为文明提供了一种划分遗产和分配资源的方式。对代数的研究意味着数学家要解线性方程组和系统，也要解二次方程，并深入研究正解和负解。古代数学家也开始研究数论。数论起源于形状的构造，研究数字的形状、数字的特征和定理。
数学与希腊人
早期文明中对数学的研究是希腊人奠定了数学的基石，他们通过几何发展了抽象数学的模型。希腊，以其令人难以置信的建筑和复杂的政府体系，一直是数学成就的典范，直到现代。希腊数学家被分成几个学派：
- 爱奥尼亚学派，由泰勒斯创立，常被认为是第一个给出演绎证明并发展了平面几何的五个基本定理的人。
- 毕达哥拉斯（Pythagoras）创建的毕达哥拉斯学派（Pythagorean School）研究比例，平面和实体几何以及数论
- 埃里克派的埃洛派（Eleatic School），以他的四个悖论而闻名。诡辩学校，因在先进的希腊城市提供高等教育而受到赞誉。
- 诡辩学校，因在先进的希腊城市提供高等教育而受到赞誉。诡辩家使用抽象推理来进行公开辩论。
- 柏拉图学派，由柏拉图创立，他鼓励在类似于现代大学的环境中进行数学研究。
- 由尤多克斯（Eudoxus）创立的尤多克斯学院（Eudoxus），他发展了比例和大小理论并提出了许多平面几何定理
- 亚里斯多德学派，也被称为学园，由亚里士多德创立，并遵循柏拉图式的学校。
除了上面列出的希腊数学家，一些希腊人在数学史上留下了不可磨灭的印记。阿基米德、阿波罗、丢番图、帕普斯和欧几里得都来自这个时代。为了更好地理解序列以及这些数学家是如何相互影响的，请访问这个时间线。
在这段时间里，数学家开始研究三角学。在计算性质上，三角法需要测量角度和计算三角函数，包括正弦、余弦、正切和它们的倒数。三角法依赖于像欧几里得这样的希腊数学家发展的综合几何。例如，托勒密定理给出了角和差和弦的规则，它们对应于正弦和余弦的和差公式。在过去的文化中，三角学被应用于天文学和天球角度的计算
罗马帝国灭亡后，阿拉伯人接着是欧洲人，开始了数学的发展。斐波那契是欧洲最早的数学家之一，他以算术、代数和几何学理论闻名。文艺复兴导致了包括小数、对数和射影几何在内的进步。数论得到了极大的发展，概率论、解析几何等理论开创了以微积分为核心的数学新时代
微积分的发展
在17世纪，艾萨克·牛顿和戈特弗里德·莱布尼茨独立发展了微积分的基础。微积分的发展经历了预期、发展和严格三个阶段。在预期阶段，数学家们试图使用涉及无限过程的技术来寻找曲线下的区域面积或得到极大值和极小值。在发展阶段，牛顿和莱布尼茨通过导数和积分将这些技术结合在一起。虽然他们的方法在逻辑上并不总是正确的，但在18世纪的数学家们对其不断严格化，并且能够证明他们是正确的，今天，我们用极限来定义导数和积分。
与微积分不同的是，微积分是一种连续数学，其他数学家则采用了一种更理论化的方法。离散数学是数学的一个分支，它处理的对象只能假定不同的、分离的值。离散对象可以用整数来表示，而连续对象需要实数。离散数学是计算机科学的数学语言，因为它包括了算法的研究。离散数学的领域包括组合学、图论和计算理论。
人们常常想知道数学家在今天有什么意义。在现代世界，数学，比如应用数学，不仅相关，而且至关重要。应用数学是数学的一个分支，涉及到物理、生物或社会学领域的研究。应用数学的理念是创造一组解决科学问题的方法。应用数学的现代领域包括数学物理、数学生物学、控制理论、航空航天工程和数学金融。应用数学不仅解决问题，而且发现新的问题或发展新的工程学科。应用数学家需要有数学和科学的许多领域、物理直觉、常识和协作方面的专业知识。应用数学中常用的方法是建立一个现象的数学模型，解决该模型，并提出改进性能的建议。
虽然与应用数学不一定相反，纯数学是由抽象问题驱动的，而不是现实世界的问题。纯数学家所追求的很多东西都可以从具体的物理问题中找到根源，但对这些现象的深入理解会带来问题和技术性问题。这些抽象问题和技术性问题正是纯数学试图解决的，这些尝试为人类带来了重大发现，包括艾伦·图灵在1937年提出的“通用图灵机”理论。通用图灵机最初只是一个抽象概念，后来为现代计算机的发展奠定了基础。纯数学是抽象的，基于理论，因此不受物理世界的限制。
根据一位纯粹数学家的说法，纯粹数学家证明定理，而应用数学家构造理论。纯粹和应用并不是相互排斥的，但它们植根于数学和解决问题的不同领域。虽然纯数学和应用数学所涉及的复杂数学超出了大多数人的理解，但从这些过程中发展出来的解决方案已经影响并改善了所有人的生活。
