对角矩阵乘法的性质

对角矩阵乘法的性质(矩阵乘法的性质有哪些)

“Linear Algebra review(optional)——Matrix multiplication properties”

上次视频中可知,矩阵与矩阵乘法可以将很多运算打包到一个式子里来进行运算处理,在数据挖掘、图像处理等领域是居家必备之神器。本次视频讲解矩阵和矩阵乘法的性质。

不满足交换律

在实数的乘法中,是有交换律的,矩阵与矩阵乘法有没有交换律呢?即:

而且,更严重的是,有时候俩矩阵相乘,交换一下顺序可能变成非法的运算式子了(因为可能会让左边矩阵的列和右边矩阵的行不相等了)。

满足结合律

实数乘法中有结合律,矩阵和矩阵乘法也满足结合律。即:A×B×C=(A×B)×C=A×(B×C)。

耐心的同学,可以用上节讲到的矩阵和矩阵乘法的定义来证明一下结合律。

单位矩阵

在实数乘法中,有一个特殊的数1,任何数乘以这个1它的值都不会发生变化。类似的,在矩阵乘法的世界里也有个类似的东西,叫做单位矩阵。

对于单位阵,我们一般用英文字母 来表示。

单位阵,只有主对角线上的元素为1,其它位置的元素全部为0. 在一些手写的场景下,也常被写成下图的样子,即只写主对角线上的1,其它位置用大大的0来表示。

单位矩阵有个非常好的性质,即对于任意矩阵都有下面的式子成立:

值得注意的是,上面的式子中的两个单位矩阵I它并不是同一个。本文开头就说了矩阵和矩阵乘法不满足交换律,但是到了单位矩阵这里为什么又满足交换律了?就是因为单位阵它能屈能伸,根据另外一个矩阵及时调整了自己的维度。

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